В 1962 году окончил Театральное училище имени Б.В. Щукина (курс И.М. Рапопорта) и стал актёром Театра имени Вахтангова.
На этой сцене актёр сыграл массу заметных ролей, преимущественно в классике. В своих работах Волынцев сочетал яркую театральность с психологической достоверностью своих героев, что удаётся далеко не всем его коллегам.
Блистательный комедийный актёр, звезда Вахтанговской сцены, создатель образа пана Спортсмена в телепередаче «Кабачок 13 стульев», кроме этого Юрий Волынцев был постоянным участником киножурнала «Фитиль», а также озвучил множество популярных мультфильмов.
Его голосом говорят Волк ("Самый маленький гном"), Зелёный ("Тайна третьей планеты"), Мухомор ("Как грибы с горохом воевали"), Иван ("Волшебное кольцо") и многие другие персонажи известных мультфильмов.
Заслуженный артист РСФСР (1971).
Народный артист РСФСР (1984).