Будущий Народный Артист России родился 17 мая 1943 года в городке Рассказово Тамбовской области. В 1965 году он окончил студию при театре Моссовета и был принят в труппу МАДТ имени Моссовета, где и работает по сей день.
В шестидесятых Александр Сергеевич начал активную кинокарьеру, появившись в таких картинах, как «Непридуманная история», «Весенние хлопоты», «Дайте жалобную книгу». По признанию коллег, Леньков был настолько харизматичен и пластичен, что даже в эпизодах фактически «крал шоу» у остальных актеров.
В 1964 году актер сыграл главную роль в комедии «Ключи от неба», которая принесла ему всесоюзную известность. Постепенно за Леньковым закрепилось амплуа интеллигентного, но слегка бестолкового персонажа, порой нерешительного, но готового пойти и на смелые поступки. Зрителям запомнились его роли в картинах «Соло для слона с оркестром» (1975), «Зимняя вишня» (1985), «Маленькая Вера» (1988), «Сибирскiй цирюльникъ» (1998) и многих других.
Начиная с восьмидесятых Александр Сергеевич много времени посвятил озвучиванию персонажей в мультфильмах, детских передачах и играх, а также аудиокнигам.
Среди новейших работ в кино у Александра Сергеевича роли в сериалах «Интерны», «Дорога на остров Пасхи», озвучание в отечественной анимационной ленте «От винта 3D». В ближайшее время актер появится на экранах в новой сказке «Тайна Снежной Королевы» режиссера Натальи Бондарчук.