Родился 16 февраля 1941 года в Москве. Вырос в простой семье: мама была парикмахером, отец — слесарем. Окончив школу, Юрий поступил в ПТУ, где стал учиться на токаря. Играл в заводском самодеятельном театре. В 1964 году окончил Театральную студию Театра имени Моссовета (руководитель — Ю.А. Завадский). С 1964 года — актёр театра имени Моссовета. В кино Кузьменков начал сниматься ещё будучи студентом. Актёр нередко играл военных. Его герои всегда прямолинейны и напористы, с богатым чувством юмора и непоколебимой самоуверенностью. Заслуженный артист РСФСР (1980). Жена — актриса Галина Ванюшкина. Сын Степан — дипломат, живёт в Америке, четыре года служил при российской миссии в ООН. У Юрия Александровича — две внучки и внук. Ушёл из жизни утром 11 сентября 2011 года на подмосковной даче от сердечного приступа. Похоронен актёр 14 сентября на сельском кладбище в деревне Жабкино, Ленинского района, Московской области.